Les polynômes apparaissent en Tronc Commun Sciences dès qu'on calcule sur des expressions littérales et qu'on résout des équations. Cette fiche réunit le degré, la valeur numérique, l'identification des coefficients, la division euclidienne, le théorème du reste P(a), les racines et la factorisation par (x − a), le schéma de Horner et la règle du produit nul. L'idée centrale : une racine a de P équivaut à ce que P soit divisible par (x − a), donc un degré de moins. Le réflexe pour un simple reste par x − a : calculer P(a) plutôt que poser toute la division.
\(P(x)\)
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Les polynômes — Degré, division, racines & factorisation
Math Excellence1 · Vocabulaire & opérations
Forme réduite
\(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\)
\(a_n\neq0\), \(\deg P=n\)
Valeur numérique
\(P(a)\) : remplacer \(x\) par \(a\)
\(P(0)=a_0\) (terme constant)
Égalité
coefficients de même degré égaux
compléter par des \(0\)
Degré d'un produit
\(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)
dominants multipliés
Degré d'une somme
\(\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)\)
peut diminuer
Racine
\(a\) racine \(\iff P(a)=0\)
zéro du polynôme
2 · Division & reste
Division euclidienne
- \(P(x)=A(x)Q(x)+R(x)\), \(A\neq0\)
- \(R=0\) ou \(\deg R<\deg A\) ; couple \((Q,R)\) unique
Poser la division
- ordonner, compléter les puissances manquantes par \(0\)
- diviser les termes dominants, multiplier, soustraire, répéter
Piège : oublier un coefficient nul décale tous les calculs.
Théorème du reste
- \(P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)\)
- le reste de \(P\) par \(x-a\) est \(P(a)\)
reste sans poser la division
Divisibilité
- \(P\) divisible par \(A\iff\) reste nul
- alors \(P(x)=A(x)Q(x)\)
3 · Formules & réflexes
\(\deg P=n\), coefficient dominant \(a_n\neq0\)
\(P(0)=a_0\)
\(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)
\(P=AQ+R\), \(\deg R<\deg A\)
reste par \(x-a\) : \(P(a)\)
\(P(a)=0\iff (x-a)\mid P\)
degré \(n\) ⇒ au plus \(n\) racines
produit nul : un facteur au moins \(=0\)
4 · Racines, factorisation & équations
Théorème de factorisation
- \(P(a)=0\iff P(x)=(x-a)Q(x)\)
- si \(P\neq0\) : \(\deg Q=\deg P-1\)
Chercher puis exploiter une racine
- tester \(0,1,-1,2,-2\) ; dès que \(P(a)=0\), écrire \((x-a)Q(x)\)
- déterminer \(Q\) (identification, division ou Horner)
un degré \(n\) a au plus \(n\) racines
Schéma de Horner
- abaisser, \(\times a\), ajouter au coefficient suivant, répéter
- dernier nombre \(=P(a)\), les autres = quotient
Écrire tous les coefficients, zéros compris.
Résoudre \(P(x)=0\)
- tout ramener \(=0\), factoriser complètement
- règle du produit nul, réunir les solutions
\((x-2)(x-3)(x+1)=0\Rightarrow S=\{-1,2,3\}\)
★ Astuces géniales
- Le théorème du reste donne le reste par \(x-a\) sans division : il suffit de calculer \(P(a)\).
- \(P(a)=0\iff P\) divisible par \(x-a\) : c'est le pont entre racines et factorisation.
- Horner calcule d'un coup \(P(a)\) et le quotient — mais n'oubliez jamais les coefficients nuls.
- Résoudre une équation polynomiale = factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.
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