Les équations, inéquations et systèmes rassemblent en Tronc Commun Sciences les techniques de résolution les plus utilisées de l'année. Cette fiche réunit le premier degré, la règle du produit nul, le second degré avec le discriminant Δ = b² − 4ac, la somme et le produit des racines, les tableaux de signes et les systèmes 2×2. Tout repose sur le signe de Δ : il décide du nombre de racines et de la factorisation du trinôme. Le réflexe indispensable avant tout quotient : écrire les valeurs interdites, qui ne seront jamais solutions.
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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Équations, inéquations & systèmes — 1ᵉʳ degré, 2ⁿᵈ degré, 2×2
Math Excellence1 · Premier degré & produit nul
1ᵉʳ degré
\(ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac ba\)
\(a\neq0\)
Produit nul
\(AB=0\iff A=0\ \text{ou}\ B=0\)
factoriser d'abord
Quotient nul
\(\dfrac AB=0\iff A=0\) et \(B\neq0\)
valeur interdite \(B=0\)
\(x^{2}=k\)
\(k>0:x=\pm\sqrt k\)
\(k=0:\{0\}\) ; \(k<0:\varnothing\)
Inéquation 1ᵉʳ deg.
\(ax+b>0\)
isoler \(x\), surveiller le signe
Signe de \(ax+b\)
\(-\)signe(\(a\)) puis signe(\(a\))
change en \(x_0=-\dfrac ba\)
2 · Le second degré
Discriminant \(\Delta=b^{2}-4ac\)
- \(\Delta<0\) : \(S=\varnothing\)
- \(\Delta=0\) : racine double \(x_0=-\dfrac b{2a}\)
- \(\Delta>0\) : \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
Factorisation
- \(\Delta>0:\ a(x-x_1)(x-x_2)\)
- \(\Delta=0:\ a(x-x_0)^{2}\)
- \(\Delta<0\) : pas de factorisation dans \(\mathbb{R}\)
Somme & produit
- \(x_1+x_2=-\dfrac ba\) ; \(x_1x_2=\dfrac ca\)
- somme \(s\), produit \(p\) : racines de \(x^{2}-sx+p=0\)
Vérif éclair : contrôler \(-\tfrac ba\) et \(\tfrac ca\) après calcul.
Forme canonique
- \(ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)^{2}+\beta\)
- \(\alpha=-\dfrac b{2a}\), \(\beta=-\dfrac\Delta{4a}\) (sommet)
3 · Formules & réflexes
\(ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac ba\)
\(AB=0\iff A=0\) ou \(B=0\)
\(\Delta=b^{2}-4ac\)
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
\(x_1+x_2=-\dfrac ba,\ x_1x_2=\dfrac ca\)
trinôme : signe de \(a\) hors des racines
diviser par \(<0\) : sens inversé
Cramer : \(x=\dfrac{D_x}{D},\ y=\dfrac{D_y}{D}\)
4 · Tableaux de signes & systèmes 2×2
Inéquation produit / quotient
- tout ramener \(\le0\) / \(\ge0\), factoriser
- tableau de signes ; racine du numérateur incluse (large), valeur interdite jamais
Signe du trinôme
- \(\Delta<0\) : signe de \(a\) partout
- \(\Delta>0\) : signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1,x_2]\), signe opposé entre
\(-x^{2}+x+6\ge0\iff x\in[-2,3]\)
Systèmes 2×2
- substitution : un coefficient \(\pm1\)
- combinaison : coefficients opposables
- Cramer : \(D=ab'-a'b\), unique si \(D\neq0\)
Mettre en système
- choisir les inconnues, traduire chaque info
- résoudre puis contrôler (positivité, entiers, unités)
solution d'un système = un couple \((x,y)\)
★ Astuces géniales
- Le signe de \(\Delta\) décide de tout : nombre de racines, factorisation, allure du signe.
- Réflexe inéquation : diviser par un négatif inverse le sens — l'erreur classique.
- Avant tout quotient : écrire les valeurs interdites (elles ne sont jamais solution).
- Un trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines — inutile de tout recalculer.
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