La trigonométrie débute en Tronc Commun Sciences avec le radian, le cercle trigonométrique et les fonctions cos et sin. Cette fiche réunit la conversion degrés–radians (180° = π), les abscisses curvilignes x + 2kπ et la mesure principale, les angles orientés, l'identité cos²x + sin²x = 1, la tangente et les angles associés. Le cercle trigonométrique est la clé : il fabrique toutes les formules, cos sur l'axe des abscisses et sin sur celui des ordonnées. Le réflexe pour retrouver un signe : lire le quadrant sur le cercle plutôt que mémoriser chaque cas.
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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Trigonométrie (1) — Radian, cercle, cos & sin, angles associés
Math Excellence1 · Radian & cercle trigonométrique
Radian
\(180^\circ=\pi\ \text{rad}\)
\(\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\deg}\times\dfrac\pi{180}\)
Cercle trigonométrique
rayon \(1\), sens direct
\(M\) d'abscisse curviligne \(x\)
Abscisses curvilignes
\(x+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
principale \(\in\ ]-\pi,\pi]\)
Chasles (angles orientés)
\((\vec u,\vec w)=(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\ [2\pi]\)
à \(2\pi\) près
Cos & sin
\(M(\cos x,\ \sin x)\)
coordonnées sur le cercle
Tangente
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(x\neq\tfrac\pi2+k\pi\)
2 · Méthodes types
Convertir degrés ↔ radians
- degrés → radians : \(\times\dfrac\pi{180}\)
- radians → degrés : \(\times\dfrac{180}\pi\)
\(60^\circ=\tfrac\pi3\) ; \(\tfrac{3\pi}4=135^\circ\)
Mesure principale
- ajouter / retrancher des \(2\pi\) jusqu'à tomber dans \(]-\pi,\pi]\)
- toutes les mesures : \(x+2k\pi\)
\(\tfrac{13\pi}4=\tfrac{5\pi}4-2\pi\to\) principale \(-\tfrac{3\pi}4\)
Calculer cos connaissant sin (ou l'inverse)
- \(\cos^2x=1-\sin^2x\), puis \(\cos x=\pm\sqrt{\dots}\)
- le quadrant de \(x\) fixe le signe
Piège : ne jamais oublier le signe donné par le quadrant.
Angle de référence
- se ramener à un angle de \([0,\tfrac\pi2]\) par les angles associés
- appliquer les valeurs remarquables
\(\cos\tfrac{5\pi}6=\cos(\pi-\tfrac\pi6)=-\tfrac{\sqrt3}2\)
3 · Formules & réflexes
\(180^\circ=\pi\ \text{rad}\)
\(\cos^2x+\sin^2x=1\)
\(1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}\)
\(-1\le\cos x\le1,\ -1\le\sin x\le1\)
\(\cos(x+2k\pi)=\cos x\)
\(\sin(x+2k\pi)=\sin x\)
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), \(x\neq\tfrac\pi2+k\pi\)
\(\cos\tfrac\pi6=\tfrac{\sqrt3}2,\ \cos\tfrac\pi4=\tfrac{\sqrt2}2,\ \cos\tfrac\pi3=\tfrac12\)
4 · Angles associés
Opposé \(-x\)
- \(\cos(-x)=\cos x\) (cosinus pair)
- \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\tan(-x)=-\tan x\) (impairs)
Supplément \(\pi-x\) & \(\pi+x\)
- \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\)
- \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\)
Complément \(\tfrac\pi2-x\)
- \(\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x\)
- \(\sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x\)
cos et sin s'échangent
\(\tfrac\pi2+x\)
- \(\cos(\tfrac\pi2+x)=-\sin x\)
- \(\sin(\tfrac\pi2+x)=\cos x\)
★ Astuces géniales
- Le cercle trigonométrique fabrique toutes les formules : lire \(\cos\) sur l'axe des abscisses, \(\sin\) sur celui des ordonnées.
- \(\cos^2x+\sin^2x=1\) donne l'un à partir de l'autre — le quadrant tranche le signe.
- Les angles associés se retrouvent par symétries : inutile de tous les mémoriser, se rappeler du dessin.
- Complément \(\tfrac\pi2-x\) : \(\cos\) et \(\sin\) s'échangent — la clé des identités.
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