Ce second volet de trigonométrie apprend en Tronc Commun Sciences à résoudre les équations et les inéquations trigonométriques. Cette fiche réunit les équations de référence cos x = cos α, sin x = sin α et tan x = tan α, les équations algébriques par changement d'inconnue X = cos x, la restriction à un intervalle et la loi des sinus dans un triangle. La difficulté est d'écrire TOUTES les familles de solutions avant de filtrer par l'intervalle en encadrant k. Le piège classique : oublier une des deux familles, par exemple la solution π − α pour un sinus.
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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Trigonométrie (2) — Équations, inéquations & loi des sinus
Math Excellence1 · Équations fondamentales
\(\cos x=\cos\alpha\)
\(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\)
\(x=\pm\alpha+2k\pi\)
\(\sin x=\sin\alpha\)
\(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\)
\(k\in\mathbb{Z}\)
\(\tan x=\tan\alpha\)
\(x=\alpha+k\pi\)
période \(\pi\)
Condition d'existence
\(\cos x=a\) / \(\sin x=a\)
résoluble \(\iff -1\le a\le1\)
Cas \(\cos x=0\)
\(x=\tfrac\pi2+k\pi\)
\(\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi\)
Cas \(\sin x=0\)
\(x=k\pi\)
\(\sin x=1\Rightarrow x=\tfrac\pi2+2k\pi\)
2 · Résoudre une équation
Ramener à la forme type
- écrire \(a\) sous la forme \(\cos\alpha\) (ou \(\sin\alpha\)) avec un angle remarquable
- appliquer la formule et donner toutes les solutions
\(\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\pm\tfrac\pi3+2k\pi\)
Équation algébrique
- poser \(X=\cos x\) (ou \(\sin x\)), résoudre le trinôme en \(X\)
- garder les \(X\in[-1,1]\), puis revenir à \(x\)
Attention : rejeter toute racine \(X\notin[-1,1]\).
Arguments composés
- résoudre en \(2x\) ou \(x+\tfrac\pi3\), puis isoler \(x\)
- diviser aussi le \(2k\pi\) : \(2x=\dots\Rightarrow x=\dots+k\pi\)
Restreindre à un intervalle
- écrire la solution générale \(x=\dots+2k\pi\)
- encadrer \(k\) par l'intervalle, tester chaque \(k\) entier
solutions de \([0,2\pi[\) : \(k=0,1\)
3 · Formules & réflexes
\(\cos x=\cos\alpha\Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi\)
\(\sin x=\sin\alpha\Rightarrow x=\alpha+2k\pi\) ou \(\pi-\alpha+2k\pi\)
\(\tan x=\tan\alpha\Rightarrow x=\alpha+k\pi\)
existence : \(-1\le a\le1\)
poser \(X=\cos x\in[-1,1]\)
intervalle → encadrer \(k\)
loi des sinus : \(\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R\)
\(k\in\mathbb{Z}\) dans toute solution générale
4 · Inéquations & loi des sinus
Inéquation en \(\cos\)
- \(\cos x\ge a\) : lire sur l'axe des abscisses du cercle
- l'arc solution est autour de \(0\) (symétrique)
\(\cos x\ge\tfrac12\iff x\in[-\tfrac\pi3,\tfrac\pi3]\ (+2k\pi)\)
Inéquation en \(\sin\)
- \(\sin x\ge a\) : lire sur l'axe des ordonnées
- repérer les deux angles limites sur le cercle
Inéquation en \(\tan\)
- découper aux valeurs interdites \(\tfrac\pi2+k\pi\)
- résoudre par période \(\pi\), tableau de signes
Loi des sinus (triangle)
- \(\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R\)
- relie côtés, angles et rayon du cercle circonscrit
un côté + deux angles \(\Rightarrow\) les autres côtés
★ Astuces géniales
- \(\cos x=\cos\alpha\) donne deux familles \(\pm\alpha\) ; \(\sin x=\sin\alpha\) donne \(\alpha\) et \(\pi-\alpha\) — ne jamais en oublier.
- Équation algébrique : poser \(X=\cos x\), mais rejeter tout \(X\notin[-1,1]\).
- Sur un intervalle donné : garder la solution générale et encadrer \(k\), pas deviner.
- Une inéquation se lit sur le cercle : \(\cos\) en abscisse, \(\sin\) en ordonnée.
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