Généralités sur les fonctions (1ʳᵉ Bac) : résumé de cours

Les généralités sur les fonctions sont la porte d'entrée de toute l'analyse. On y apprend à décrire une fonction avant même de tracer sa courbe : où elle est définie, si elle possède des symétries, comment elle varie. Ces réflexes serviront jusqu'au Bac et au-delà. Voici l'essentiel.

L'ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) peut être calculé. Deux conditions reviennent sans cesse : un dénominateur doit être non nul, et une expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. Déterminer ce domaine est toujours la première étape d'une étude.

Parité et symétries

Une fonction est paire si f(−x) = f(x) pour tout x du domaine : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si f(−x) = −f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Repérer une parité divise le travail par deux, puisqu'il suffit d'étudier la fonction sur les x positifs.

Le sens de variation

Une fonction est croissante sur un intervalle si elle conserve l'ordre (des x plus grands donnent des images plus grandes), décroissante si elle l'inverse. Pour l'établir à ce niveau, on étudie le signe du taux d'accroissement T = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁) entre deux réels distincts : s'il est toujours positif, f croît ; toujours négatif, f décroît.

Extremums et fonctions bornées

Un maximum (respectivement minimum) est la plus grande (respectivement plus petite) valeur atteinte par la fonction. Une fonction est majorée s'il existe un réel qu'elle ne dépasse jamais, minorée si un réel la minore toujours, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Comparer deux fonctions

Pour comparer deux fonctions f et g — et donc situer leurs courbes l'une par rapport à l'autre — on étudie le signe de la différence f(x) − g(x). Là où cette différence est positive, la courbe de f est au-dessus de celle de g ; là où elle est nulle, les courbes se coupent.

Un exemple résolu

Soit f(x) = x / (x² − 1). Le dénominateur s'annule pour x = 1 et x = −1, donc le domaine est ℝ privé de {−1 ; 1}. Étudions la parité : f(−x) = (−x) / ((−x)² − 1) = −x / (x² − 1) = −f(x). La fonction est donc impaire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.