Le produit scalaire dans le plan (Tronc Commun) : résumé et méthodes

Le produit scalaire est le premier outil qui relie vraiment la géométrie et le calcul. Il sert à mesurer des angles, à prouver que deux droites sont perpendiculaires et à calculer des longueurs. C'est un chapitre très rentable, car ses méthodes sont peu nombreuses et reviennent souvent. Voici l'essentiel.

Deux façons de le calculer

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, noté u · v, est un nombre (pas un vecteur). On peut le calculer de deux manières. La définition géométrique : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ), où θ est l'angle entre les deux vecteurs. L'expression analytique, dans un repère orthonormé : si u a pour coordonnées (x, y) et v pour coordonnées (x′, y′), alors u · v = x·x′ + y·y′. C'est cette seconde formule qu'on utilise le plus en pratique.

Norme et orthogonalité

En prenant v = u dans la définition, on obtient u · u = ‖u‖². D'où la formule de la norme : ‖u‖ = √(x² + y²). La propriété la plus utilisée concerne l'orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire x·x′ + y·y′ = 0. C'est l'outil de référence pour prouver qu'un angle est droit.

Les propriétés de calcul

Le produit scalaire se manipule presque comme une multiplication : il est symétrique (u · v = v · u) et distributif par rapport à l'addition, u · (v + w) = u · v + u · w. Ces règles permettent de développer des expressions comme (u + v) · (u − v) = ‖u‖² − ‖v‖².

Le théorème d'Al-Kashi

C'est la généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque. Dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â). Quand l'angle  vaut 90°, le cosinus est nul et on retrouve Pythagore. Ce théorème sert à calculer un côté ou un angle dès qu'on connaît assez d'informations.

Exemple entièrement résolu

Soient les vecteurs u(3, −1) et v(2, 6) dans un repère orthonormé. Sont-ils orthogonaux ? On calcule le produit scalaire avec la formule analytique : u · v = 3 × 2 + (−1) × 6 = 6 − 6 = 0.

Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs u et v sont orthogonaux. On peut aussi calculer leurs normes : ‖u‖ = √(3² + (−1)²) = √10 et ‖v‖ = √(2² + 6²) = √40 = 2√10. Retenez le réflexe : pour tester une perpendicularité, on ne mesure pas un angle, on calcule un produit scalaire et on vérifie s'il vaut 0.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : déterminez la valeur de k pour que les vecteurs u(1, 2) et v(3, k) soient orthogonaux, puis calculez la norme du vecteur w(3, 4). Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour l'orthogonalité, on écrit u · v = 0, soit 1 × 3 + 2 × k = 0, donc 3 + 2k = 0, ce qui donne k = −3/2. Pour la norme, ‖w‖ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. On reconnaît le triangle 3-4-5, un grand classique. Ces deux calculs — produit scalaire nul et norme — sont les deux gestes de base à automatiser.

Les erreurs fréquentes à éviter

• Croire que le produit scalaire est un vecteur : c'est un nombre.
• Oublier le cosinus dans la définition géométrique u · v = ‖u‖‖v‖cos(θ).
• Utiliser la formule x·x′ + y·y′ dans un repère qui n'est pas orthonormé.
• Oublier le facteur 2 dans le théorème d'Al-Kashi.

Le produit scalaire revient en 1ʳᵉ et 2ᵉ Bac, y compris dans l'espace : bien le maîtriser en Tronc Commun, c'est un investissement pour toute la suite. Pour vous entraîner avec des corrigés détaillés, réservez un cours à Fès ou en ligne.