Le produit scalaire relie en Tronc Commun Sciences longueurs, angles et orthogonalité en une seule opération. Cette fiche réunit ses expressions (trigonométrique ‖u‖‖v‖cos θ, analytique xx′ + yy′, par projection, avec les distances), la caractérisation de l'orthogonalité par un produit nul, puis les grandes relations métriques du triangle : Al-Kashi, théorème de la médiane, aire et loi des sinus. L'idée directrice reste que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le réflexe : choisir l'expression adaptée aux données avant de se lancer dans un calcul.
\(\vec u\!\cdot\!\vec v\)
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Le produit scalaire — Orthogonalité, angles, relations métriques
Math Excellence1 · Définitions & expressions
Forme trigonométrique
\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\)
\(\theta\) = angle des vecteurs
Coordonnées (orthonormé)
\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\)
repère orthonormé exigé
Trois points
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)\)
quand on connaît les distances
Carré scalaire
\(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\)
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Orthogonalité
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
\(xx'+yy'=0\)
Signe & angle
\(>0\) aigu, \(=0\) droit, \(<0\) obtus
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\)
2 · Calculer & utiliser
Choisir la bonne expression
- coordonnées connues → \(xx'+yy'\)
- longueurs + angle → \(\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta\) ; trois distances → \(\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)\)
Droites perpendiculaires
- prendre un vecteur directeur de chaque droite
- produit scalaire nul ⇒ droites \(\perp\)
Déterminer un angle
- \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
- régler la calculatrice dans la bonne unité
Développer (identités)
- \(\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
- \((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\)
développer comme en algèbre, vecteurs respectés
3 · Formules & réflexes
\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta=xx'+yy'\)
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
\(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\tfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)\)
Al-Kashi : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\)
médiane : \(MA^2+MB^2=2MI^2+\tfrac{AB^2}2\)
aire : \(\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A\)
sinus : \(\dfrac a{\sin\widehat A}=\dfrac b{\sin\widehat B}=\dfrac c{\sin\widehat C}\)
4 · Relations métriques du triangle
Théorème d'Al-Kashi
- \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\)
- angle : \(\cos\widehat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
Pythagore = cas \(\widehat A=90^\circ\)
Théorème de la médiane
- \(MA^2+MB^2=2MI^2+\tfrac{AB^2}2\) (\(I\) milieu)
- réflexe : une somme \(MA^2+MB^2\) ⇒ introduire \(I\)
lieux : souvent des cercles de centre \(I\)
Aire & loi des sinus
- \(\mathcal S=\tfrac12bc\sin\widehat A\)
- \(\dfrac a{\sin\widehat A}=\dfrac b{\sin\widehat B}=\dfrac c{\sin\widehat C}=\dfrac{abc}{2\mathcal S}\)
Cercle de diamètre \([AB]\)
- \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\iff M\) sur ce cercle
- angle inscrit droit
★ Astuces géniales
- Cinq expressions du produit scalaire : choisir celle adaptée aux données avant de calculer.
- \(xx'+yy'\) et \(\sqrt{x^2+y^2}\) n'ont de sens qu'en repère orthonormé.
- Al-Kashi généralise Pythagore : le côté opposé à l'angle est seul dans le membre de gauche.
- Toute somme \(MA^2+MB^2\) appelle le théorème de la médiane : introduire le milieu \(I\).
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