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Les transformations du plan présentent en Tronc Commun Sciences quatre applications géométriques : la symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et l'homothétie. Cette fiche réunit leurs définitions, leurs points invariants, leurs propriétés caractéristiques et leurs expressions dans un repère. Les trois premières conservent les longueurs ; seule l'homothétie les multiplie par |k| et multiplie les aires par k². Le réflexe pour transformer une figure : agir point par point sur les éléments caractéristiques, puis reconstruire par conservation.

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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Les transformations du plan — Symétries, translation, homothétie

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1 · Les quatre transformations
Symétrie axiale \(S_{(D)}\)
\((D)\) médiatrice de \([MM']\)
invariants : l'axe \((D)\)
Symétrie centrale \(S_O\)
\(\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}\)
\(O\) milieu de \([MM']\)
Translation \(t_{\vec u}\)
\(\overrightarrow{MM'}=\vec u\)
aucun invariant si \(\vec u\neq\vec0\)
Homothétie \(h_{(\Omega,k)}\)
\(\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\)
invariant : \(\Omega\) si \(k\neq1\)
Point invariant
\(T(A)=A\)
selon la transformation
Conservation
alignement, milieux, angles, parallélisme
longueurs sauf homothétie
2 · Propriétés caractéristiques
Symétrie centrale
  • \(\overrightarrow{A'B'}=-\overrightarrow{AB}\)
  • donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\)
Translation
  • \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}\)
  • conserve longueurs, direction et sens
Homothétie de rapport \(k\)
  • \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\)
  • \(A'B'=|k|\,AB\), aires \(\times k^2\)
Piège : longueur \(\times|k|\), jamais \(\times k\) — le signe = le sens.
Reconnaître la transformation
  • médiatrice de \([MM']\) → axiale ; milieu → centrale
  • \(\overrightarrow{MM'}\) constant → translation ; \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}\) → homothétie
3 · Formules & réflexes
axiale : \((D)\) médiatrice de \([MM']\)
centrale : \(\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}\)
translation : \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\)
homothétie : \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\)
\(t_{\vec u}\) : \(x'=x+p,\ y'=y+q\)
\(S_O\) : \(x'=2a-x,\ y'=2b-y\)
\(h_{(\Omega,k)}\) : \(x'=a+k(x-a)\)
homothétie : longueurs \(\times|k|\), aires \(\times k^2\)
4 · Images de figures & repère
Image d'une figure
  • transformer les points caractéristiques (extrémités, sommets, centre)
  • droite → droite, segment → segment, cercle → cercle
cercle : transformer le centre, rayon \(\times|k|\)
Homothétie : rôle de \(k\)
  • \(k>0\) même côté, \(k<0\) côté opposé de \(\Omega\)
  • \(|k|>1\) agrandit, \(0<|k|<1\) réduit
\(k=-1\) = symétrie centrale de centre \(\Omega\)
Expressions analytiques
  • translation \(\vec u(p,q)\) : \(x'=x+p,\ y'=y+q\)
  • homothétie : \(x'=a+k(x-a),\ y'=b+k(y-b)\)
Prouver un parallélisme
  • utiliser \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{AB}\) ou \(=k\overrightarrow{AB}\)
  • vecteurs colinéaires ⇒ même direction
Vérifier : droites distinctes ou confondues avant de conclure.
★ Astuces géniales
  • Une figure se transforme point par point : quelques points caractéristiques suffisent, la conservation reconstruit le reste.
  • Symétries et translation sont des isométries ; l'homothétie ne l'est que si \(|k|=1\).
  • Homothétie : longueurs \(\times|k|\), aires \(\times k^2\) — l'erreur classique est d'oublier le carré.
  • \(k=-1\) transforme l'homothétie en symétrie centrale : un repère mental utile.
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