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La géométrie dans l'espace introduit en Tronc Commun Sciences le raisonnement en trois dimensions, où deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles. Cette fiche réunit les axiomes d'incidence, la détermination d'un plan, les positions relatives, les critères de parallélisme et d'orthogonalité, le théorème du toit, puis les volumes, les aires et les sections des solides usuels. La vigilance porte sur les droites gauches : avant de dire « parallèles », il faut justifier la coplanarité. Le réflexe pour un agrandissement de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.

(P)
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Géométrie dans l'espace — Positions relatives, parallélisme, solides

Math Excellence
1 · Incidence & positions relatives
Déterminer un plan
3 points non alignés
ou droite + point, 2 droites sécantes / //
Deux droites
sécantes, //, confondues ou gauches
gauches : non coplanaires
Droite & plan
sécants, \((D)\subset(P)\), ou //
3 cas exactement
Deux plans
sécants (une droite), // ou confondus
sécants ⇒ intersection = droite
Inclusion d'une droite
2 points de \((D)\) dans \((P)\Rightarrow(D)\subset(P)\)
axiome d'incidence
Droites gauches
ni sécantes ni //
aucun plan ne les contient
2 · Parallélisme & orthogonalité
Droite parallèle à un plan
  • trouver dans \((P)\) une droite \((D')\parallel(D)\)
  • vérifier \((D)\not\subset(P)\) ⇒ \((D)\parallel(P)\)
Piège : « ne se coupent pas » ≠ « parallèles » (droites gauches).
Plans parallèles
  • \((P)\) contient 2 droites sécantes // à 2 droites sécantes de \((Q)\)
  • ⇒ \((P)\parallel(Q)\)
Théorème du toit
  • \((P)\cap(Q)=(\Delta)\), \((D)\subset(P)\), \((D')\subset(Q)\), \((D)\parallel(D')\)
  • ⇒ \((\Delta)\parallel(D)\parallel(D')\)
Droite orthogonale à un plan
  • \((D)\) orthogonale à deux droites sécantes de \((P)\)
  • ⇒ \((D)\perp(P)\), orthogonale à toute droite de \((P)\)
une seule droite ne suffit pas
3 · Formules & réflexes
prisme / cylindre : \(V=\mathcal B h\)
pyramide / cône : \(V=\tfrac13\mathcal B h\)
sphère : \(V=\tfrac43\pi R^3\), aire \(4\pi R^2\)
cube arête \(a\) : \(V=a^3\), aire \(6a^2\)
cylindre latérale : \(2\pi R h\)
cône latérale : \(\pi R g\)
section sphère : \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)
échelle \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\)
4 · Solides, sections & agrandissement
Calculer un volume
  • identifier le solide, calculer \(\mathcal B\)
  • hauteur \(h\) perpendiculaire à la base, choisir \(\mathcal Bh\) ou \(\tfrac13\mathcal Bh\)
Attention : la hauteur n'est pas une arête oblique.
Sections planes
  • plan // à la base : même nature réduite (cercle, polygone)
  • sphère coupée : cercle de rayon \(\sqrt{R^2-d^2}\)
Construire une section
  • placer les points sur les arêtes, relier dans chaque face
  • 2 plans // coupés par une face ⇒ droites //
Effet d'un agrandissement \(k\)
  • longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\)
  • doubler ⇒ aires \(\times4\), volumes \(\times8\)
Astuces géniales
  • Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas peuvent être gauches : toujours vérifier la coplanarité avant de dire « parallèles ».
  • Pour \((D)\perp(P)\) il faut deux droites sécantes de \((P)\) — une seule laisse une infinité de plans possibles.
  • Pyramide et cône se terminent en pointe : leur volume est le tiers de \(\mathcal Bh\).
  • Agrandissement \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\) — trois puissances à ne pas confondre.
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