Les statistiques closent le programme de Tronc Commun Sciences en résumant une série de données par quelques nombres. Cette fiche réunit le vocabulaire (effectif, fréquence), les paramètres de position (moyenne, médiane, mode) et les paramètres de dispersion (étendue, variance, écart type). L'idée essentielle est que position et dispersion sont toutes deux nécessaires : deux séries de même moyenne peuvent être très différentes. Le réflexe de calcul : la variance par la formule développée (1/N)Σnᵢxᵢ² − x̄², plus rapide que la définition.
\(\bar x\)
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences
Statistiques — Position, dispersion, moyenne & écart type
Math Excellence1 · Vocabulaire & position
Effectif & fréquence
\(N=\sum n_i,\quad f_i=\dfrac{n_i}{N}\)
\(\sum f_i=1\)
Moyenne
\(\bar x=\dfrac1N\sum n_i x_i=\sum f_i x_i\)
centres de classes si continue
Médiane \(M_e\)
partage en deux moitiés égales
série ordonnée
Mode
valeur (ou classe) de plus grand effectif
la plus fréquente
Type de caractère
qualitatif / quantitatif
discret ou continu (classes)
Centre de classe
\(x_i=\dfrac{a+b}2\) pour \([a,b[\)
sert de valeur représentative
2 · Calculer les paramètres de position
La moyenne
- \(\bar x=\dfrac1N\sum n_i x_i\)
- série en classes : prendre le centre de chaque classe
La médiane
- \(N\) impair : valeur de rang \(\dfrac{N+1}2\)
- \(N\) pair : moyenne des rangs \(\dfrac N2\) et \(\dfrac N2+1\)
toujours ordonner les valeurs d'abord
Le mode
- repérer le plus grand effectif
- plusieurs modes possibles
Moyenne ou médiane ?
- la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes
- la médiane ne l'est pas : plus fidèle si des valeurs aberrantes
3 · Formules & réflexes
\(N=\sum n_i,\ f_i=\dfrac{n_i}{N}\)
\(\bar x=\dfrac1N\sum n_i x_i\)
étendue \(e=x_{\max}-x_{\min}\)
\(V=\dfrac1N\sum n_i(x_i-\bar x)^2\)
\(V=\dfrac1N\sum n_i x_i^2-\bar x^{\,2}\) (rapide)
écart type \(\sigma=\sqrt V\)
\(\sigma\) : même unité que les données
médiane robuste, moyenne sensible
4 · Paramètres de dispersion
Étendue
- \(e=x_{\max}-x_{\min}\)
- indicateur simple, très sensible aux extrêmes
Variance
- définition : \(\dfrac1N\sum n_i(x_i-\bar x)^2\)
- formule développée \(\dfrac1N\sum n_i x_i^2-\bar x^{\,2}\) (plus rapide)
Réflexe : calculer \(\bar x\) d'abord, puis la variance.
Écart type
- \(\sigma=\sqrt V\)
- même unité que les données (contrairement à \(V\))
Interpréter \(\sigma\)
- \(\sigma\) petit : série homogène (regroupée)
- \(\sigma\) grand : série hétérogène (étalée)
★ Astuces géniales
- Décrire une série exige deux familles d'indicateurs : la position (où) et la dispersion (à quel point c'est étalé).
- Deux séries de même moyenne peuvent tout différer : c'est l'écart type qui les distingue.
- La formule développée \(V=\tfrac1N\sum n_i x_i^2-\bar x^{\,2}\) évite de recalculer chaque \((x_i-\bar x)^2\).
- Médiane robuste, moyenne sensible : sur des salaires très inégaux, la médiane décrit mieux le groupe.
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