La trigonométrie en Tronc Commun : cercle, valeurs et équations

La trigonométrie fait souvent peur en Tronc Commun, car elle introduit une nouvelle unité (le radian) et beaucoup de formules. Pourtant, une fois le cercle trigonométrique bien compris, tout devient logique. Voici le résumé de l'essentiel : les valeurs à connaître, les arcs associés et la résolution des équations.

Le radian et le cercle trigonométrique

En trigonométrie, on mesure les angles en radians plutôt qu'en degrés. La conversion de référence est π radians = 180°. On en déduit les angles usuels : π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60° et π/2 = 90°. Sur le cercle trigonométrique (de rayon 1), à chaque angle x correspond un point dont l'abscisse est cos(x) et l'ordonnée est sin(x).

L'identité fondamentale

La relation à ne jamais oublier est cos²(x) + sin²(x) = 1. Elle permet, connaissant l'un, de retrouver l'autre (au signe près, qu'on détermine selon le quadrant). On définit aussi la tangente par tan(x) = sin(x) / cos(x), définie lorsque cos(x) est non nul.

Les valeurs remarquables

Ce sont les valeurs à connaître par cœur, car elles reviennent dans presque tous les exercices :

• x = 0 : cos = 1 et sin = 0.
• x = π/6 : cos = √3/2 et sin = 1/2.
• x = π/4 : cos = √2/2 et sin = √2/2.
• x = π/3 : cos = 1/2 et sin = √3/2.
• x = π/2 : cos = 0 et sin = 1.

Parité et arcs associés

Le cosinus est une fonction paire : cos(−x) = cos(x). Le sinus est impair : sin(−x) = −sin(x). À partir de là, on obtient les arcs associés, qui permettent de ramener n'importe quel angle à un angle connu :

• cos(π − x) = −cos(x) et sin(π − x) = sin(x) ;
• cos(π + x) = −cos(x) et sin(π + x) = −sin(x) ;
• cos(π/2 − x) = sin(x) et sin(π/2 − x) = cos(x).

Résoudre les équations trigonométriques

Deux équations types reviennent sans cesse. L'équation cos(x) = cos(a) a pour solutions x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (avec k entier). L'équation sin(x) = sin(a) a pour solutions x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ. Le piège classique est d'oublier la seconde famille de solutions.

Exemple entièrement résolu

Résolvons l'équation cos(x) = 1/2 sur l'intervalle [0, 2π[. Première étape : reconnaître une valeur remarquable. On sait que cos(π/3) = 1/2, donc l'équation s'écrit cos(x) = cos(π/3).

On applique la règle : x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ. Il reste à garder les solutions comprises dans [0, 2π[. Pour la première famille, x = π/3 convient. Pour la seconde, −π/3 est négatif : on ajoute un tour (2π) pour le ramener dans l'intervalle, ce qui donne −π/3 + 2π = 5π/3. Les solutions sont donc x = π/3 et x = 5π/3. Un dessin rapide sur le cercle confirme : deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Exercice d'entraînement (avec la réponse)

À vous : résolvez sin(x) = √2/2 sur [0, 2π[, puis calculez cos(2π/3) à l'aide d'un arc associé. Cherchez avant de lire la suite.

Réponse. Pour l'équation, on reconnaît sin(π/4) = √2/2, donc sin(x) = sin(π/4). Les solutions sont x = π/4 + 2kπ ou x = π − π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ. Dans [0, 2π[, on garde x = π/4 et x = 3π/4. Pour le calcul, on remarque que 2π/3 = π − π/3. Or cos(π − x) = −cos(x), donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2. Les arcs associés évitent d'apprendre de nouvelles valeurs : on se ramène toujours à un angle connu.

Les erreurs fréquentes à éviter

• Mélanger degrés et radians dans un même calcul.
• Oublier la seconde famille de solutions d'une équation cos x = cos a ou sin x = sin a.
• Se tromper de signe dans les arcs associés (cos change de signe avec π − x, pas sin).
• Confondre les valeurs de π/6 et π/3, qui échangent leurs cos et sin.

La trigonométrie récompense la régularité : en refaisant le cercle et les valeurs remarquables chaque semaine, on les retient durablement. Pour un entraînement avec corrigés détaillés, réservez un cours à Fès ou en ligne.