Réussir une démonstration par récurrence, étape par étape

Le raisonnement par récurrence est l'un des outils les plus sûrs du programme, et il revient presque chaque année au Bac, en particulier dans les exercices de suites. Sa force est qu'il suit toujours la même structure : une fois qu'on la maîtrise, on l'applique presque mécaniquement. Encore faut-il ne sauter aucune étape.

Les trois étapes obligatoires

Une démonstration par récurrence prouve qu'une propriété, notée P(n), est vraie pour tout entier n à partir d'un certain rang. Elle se déroule toujours en trois temps, et chacun doit apparaître explicitement sur la copie.

• Initialisation : vérifier que la propriété est vraie au premier rang (souvent n = 0 ou n = 1).
• Hérédité : supposer la propriété vraie à un rang n quelconque, puis démontrer qu'elle l'est encore au rang n + 1.
• Conclusion : affirmer que, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n.

L'erreur classique : oublier l'hypothèse

La faute la plus fréquente est de « démontrer » l'hérédité sans jamais se servir de l'hypothèse de récurrence. Si ta démonstration au rang n + 1 n'utilise pas la propriété supposée au rang n, c'est le signe que quelque chose ne va pas : soit la propriété se prouve directement, soit ton raisonnement est incomplet. Une autre erreur classique est d'oublier purement et simplement l'initialisation, qui paraît évidente mais reste indispensable.

Un exemple type

Prenons une suite définie par u(0) = 2 et la relation u(n+1) = u(n) + 3, et montrons que u(n) reste positif pour tout n. Initialisation : u(0) = 2 est bien positif. Hérédité : supposons u(n) positif ; alors u(n+1) = u(n) + 3 est une somme de deux nombres positifs, donc reste positif. Conclusion : par récurrence, u(n) est positif pour tout entier n. La même trame s'adapte aux inégalités, aux encadrements ou aux formules explicites de suites.